3-Digit Math Problem

Let us solve the following math problem using QUBO++.

Math Problem: Find all three-digit odd integers whose product of digits is 252.

Let $x$, $y$, and $z$ be the hundreds, tens, and ones digits of the integer, respectively. More specifically:

$x$ is an integer in $[1, 9]$,
$y$ is an integer in $[0, 9]$,
$t$ is an integer in $[0, 4]$,
$z = 2t + 1$ (so $z$ is odd).

Then the value $v$ of the three-digit integer $xyz$ is

\[\begin{aligned} v&=100x+10y+z \end{aligned}\]

We find all solutions satisfying:

\[\begin{aligned} xyz &= 252 \end{aligned}\]

QUBO++ program

The following QUBO++ program finds all solutions:

#include <set>

#include <qbpp/qbpp.hpp>
#include <qbpp/exhaustive_solver.hpp>

int main() {
  auto x = 1 <= qbpp::var_int("x") <= 9;
  auto y = 0 <= qbpp::var_int("y") <= 9;
  auto t = 0 <= qbpp::var_int("t") <= 4;
  auto z = 2 * t + 1;
  auto v = x * 100 + y * 10 + z;

  auto f = x * y * z == 252;

  f.simplify_as_binary();
  auto solver = qbpp::exhaustive_solver::ExhaustiveSolver(f);
  auto sols = solver.search({{"best_energy_sols", 1}});
  std::set<int> s;
  for (const auto& sol : sols) {
    s.insert(static_cast<int>(sol(v)));
  }
  for (auto v : s) {
    std::cout << v << " ";
  }
  std::cout << std::endl;
}

In this program, x, y, and t are defined as integer variables with the ranges above. Then z, v, and f are defined as expressions. We create an Exhaustive Solver instance for f and store all optimal solutions in sols.

Because x, y, and t are encoded by multiple binary variables, different binary assignments can represent the same integer values. As a result, the same digit triple (x,y,z) may appear multiple times in sols. Therefore, we use a std::set<int> named s to remove duplicates by collecting only the resulting integer values v.

The integers in s are printed as follows:

479 497 667 749 947

3桁の数学問題

以下の数学問題をQUBO++を使って解きましょう。

数学問題: 各桁の積が 252 となる3桁の奇数をすべて求めよ。

$x$、$y$、$z$ をそれぞれ百の位、十の位、一の位の数字とします。より具体的には:

$x$ は $[1, 9]$ の整数、
$y$ は $[0, 9]$ の整数、
$t$ は $[0, 4]$ の整数、
$z = 2t + 1$（$z$ は奇数）。

3桁の整数 $xyz$ の値 $v$ は

\[\begin{aligned} v&=100x+10y+z \end{aligned}\]

次の条件を満たすすべての解を求めます:

\[\begin{aligned} xyz &= 252 \end{aligned}\]

QUBO++プログラム

以下のQUBO++プログラムはすべての解を求めます:

#include <set>

#include <qbpp/qbpp.hpp>
#include <qbpp/exhaustive_solver.hpp>

int main() {
  auto x = 1 <= qbpp::var_int("x") <= 9;
  auto y = 0 <= qbpp::var_int("y") <= 9;
  auto t = 0 <= qbpp::var_int("t") <= 4;
  auto z = 2 * t + 1;
  auto v = x * 100 + y * 10 + z;

  auto f = x * y * z == 252;

  f.simplify_as_binary();
  auto solver = qbpp::exhaustive_solver::ExhaustiveSolver(f);
  auto sols = solver.search({{"best_energy_sols", 1}});
  std::set<int> s;
  for (const auto& sol : sols) {
    s.insert(static_cast<int>(sol(v)));
  }
  for (auto v : s) {
    std::cout << v << " ";
  }
  std::cout << std::endl;
}

このプログラムでは、x、y、t が上記の範囲を持つ整数変数として定義されています。次に z、v、f が式として定義されます。 f に対するExhaustive Solverインスタンスを作成し、すべての最適解を sols に格納します。

x、y、t は複数のバイナリ変数で符号化されるため、異なるバイナリ割り当てが同じ整数値を表す場合があります。その結果、同じ桁の組 (x,y,z) が sols に複数回現れることがあります。そのため、結果の整数値 v のみを収集する std::set<int> 型の s を使用して重複を除去しています。

s 内の整数は以下のように出力されます:

479 497 667 749 947