Range Constraints and Solving Integer Linear Programming

Polynomial formulation for range constraints

Let $f$ be a polynomial expression of binary variables. A range constraint has the form $l\leq f\leq u$ with $l<u$. Our goal is to design a polynomial expression that takes the minimum value 0 if and only if the range constraint is satisfied.

The key idea is to introduce an auxiliary integer variable $a$ that takes values in the range $[l,u]$. Consider the following expression:

\[\begin{aligned} g &= (f-a)^2 \end{aligned}\]

This expression $g$ takes the minimum value 0 exactly when $f=a$. Since $a$ can take any integer value in $[l,u]$, the expression $g$ achieves 0 if and only if $f$ itself takes an integer value within the same range.

Using this auxiliary-variable technique, PyQBPP implements range constraints via the between() function.

Solving Integer Linear Programming

An instance of integer linear programming consists of an objective function and multiple linear constraints. For example, the following integer linear program has two variables, one objective, and two constraints:

\[\begin{aligned} \text{Maximize: } & & & 5x + 4y \\ \text{Subject to: } & && 2x + 3y \le 24 \\ & & & 7x + 5y \le 54 \end{aligned}\]

The optimal solution of this problem is $x=4$, $y=5$, with the objective value $40$.

The following PyQBPP program finds this optimal solution using the Easy Solver:

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.between(qbpp.var_int("x"), 0, 10)
y = qbpp.between(qbpp.var_int("y"), 0, 10)
f = 5 * x + 4 * y
c1 = qbpp.between(2 * x + 3 * y, 0, 24)
c2 = qbpp.between(7 * x + 5 * y, 0, 54)
g = -f + 100 * (c1 + c2)
g.simplify_as_binary()

solver = qbpp.EasySolver(g)
sol = solver.search({"time_limit": 1.0})

print(f"x = {sol(x)}, y = {sol(y)}")
print(f"f = {sol(f)}")
print(f"c1 = {sol(c1)}, c2 = {sol(c2)}")
print(f"2x+3y = {sol(c1.body)}, 7x+5y = {sol(c2.body)}")

In this program,

• f represents the objective function,
• c1 and c2 represent the range constraints created using between(), and
• g combines them into a single optimization expression.

Since the goal is maximization, the objective is negated as -f. The constraints c1 and c2 are penalized with a weight of 100 to ensure they are satisfied with high priority.

An Easy Solver instance is created for g, and a search is performed with a time limit of 1.0 seconds passed as a parameter to search(). After obtaining the optimal solution sol, the program prints the values of x, y, f, c1, c2, and the constraint body expressions.

The program outputs:

x = 4, y = 5
f = 40
c1 = 0, c2 = 0
2x+3y = 23, 7x+5y = 53

Here,

• c1 is the penalty for the constraint 0 <= 2x + 3y <= 24, and
• c1.body represents the linear expression 2x + 3y.

We can confirm that the solver correctly finds the optimal solution.

範囲制約と整数線形計画法の求解

範囲制約の多項式定式化

$f$ をバイナリ変数の多項式とします。 範囲制約は $l<u$ のもとで $l\leq f\leq u$ の形式を持ちます。 目標は、範囲制約が満たされるときかつそのときに限り最小値0を取る多項式を設計することです。

鍵となるアイデアは、範囲 $[l,u]$ の値を取る補助整数変数 $a$ を導入することです。 以下の式を考えます：

\[\begin{aligned} g &= (f-a)^2 \end{aligned}\]

この式 $g$ は $f=a$ のときちょうど最小値0を取ります。 $a$ は $[l,u]$ の任意の整数値を取れるため、 式 $g$ が0になるのは $f$ 自体が同じ範囲内の整数値を取るときかつそのときに限ります。

この補助変数の手法を用いて、PyQBPPは between() 関数により範囲制約を実装しています。

整数線形計画法の求解

整数線形計画法のインスタンスは、目的関数と複数の線形制約から構成されます。 例えば、以下の整数線形計画は2つの変数、1つの目的関数、2つの制約を持ちます：

\[\begin{aligned} \text{Maximize: } & & & 5x + 4y \\ \text{Subject to: } & && 2x + 3y \le 24 \\ & & & 7x + 5y \le 54 \end{aligned}\]

この問題の最適解は $x=4$, $y=5$ で、目的関数の値は $40$ です。

以下のPyQBPPプログラムは、Easy Solverを使ってこの最適解を求めます：

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.between(qbpp.var_int("x"), 0, 10)
y = qbpp.between(qbpp.var_int("y"), 0, 10)
f = 5 * x + 4 * y
c1 = qbpp.between(2 * x + 3 * y, 0, 24)
c2 = qbpp.between(7 * x + 5 * y, 0, 54)
g = -f + 100 * (c1 + c2)
g.simplify_as_binary()

solver = qbpp.EasySolver(g)
sol = solver.search({"time_limit": 1.0})

print(f"x = {sol(x)}, y = {sol(y)}")
print(f"f = {sol(f)}")
print(f"c1 = {sol(c1)}, c2 = {sol(c2)}")
print(f"2x+3y = {sol(c1.body)}, 7x+5y = {sol(c2.body)}")

このプログラムでは、

• f は目的関数を表し、
• c1 と c2 は between() を使って作成された範囲制約を表し、
• g はそれらを1つの最適化式にまとめたものです。

目標が最大化であるため、目的関数は -f として符号を反転しています。 制約 c1 と c2 は重み100のペナルティを付けて、高い優先度で満たされるようにしています。

g に対してEasy Solverのインスタンスを作成し、制限時間1.0秒を search() のパラメータとして渡して探索を実行します。 最適解 sol を得た後、プログラムは x、y、f、c1、c2、および制約本体の式の値を出力します。

プログラムの出力は以下の通りです：

x = 4, y = 5
f = 40
c1 = 0, c2 = 0
2x+3y = 23, 7x+5y = 53

ここで、

• c1 は制約 0 <= 2x + 3y <= 24 のペナルティであり、
• c1.body は線形式 2x + 3y を表します。

ソルバーが正しく最適解を見つけていることが確認できます。